Basic operations with matrices and vectors - Các phép toán cơ bản trên ma trận và vectơ

Trong bài viết này, mình sẽ cùng các bạn tìm hiểu về các phép toán cơ bản trên ma trận và vectơ. Hãy đọc bài viết này, bạn sẽ hiểu rõ các phép tính của ma trận và vectơ, cũng như áp dụng được các công thức vào khi làm bài tập. Hãy cùng HappyMath theo dõi ngay nhé!  

1. Giới thiệu về các phép toán cơ bản trên ma trận và vectơ 

Phép toán trên ma trận và vectơ là các khái niệm quan trọng trong toán học và các lĩnh vực ứng dụng như khoa học máy tính, vật lý, kinh tế. Các phép toán này không chỉ là những cơ sở quan trọng trong toán học mà còn rất hữu ích trong các ứng dụng thực tế như xử lý ảnh, machine learning và nhiều lĩnh vực khác. Dưới đây là phần giới thiệu về các phép toán cơ bản trên ma trận và vectơ:

 1.1 Ma trận 

Ma trận là một bảng số được sắp xếp theo hàng và cột. Nó giống như một mảng 2 chiều. Hiển thị của Ma trận dưới dạng  [số hàng X số cột]

1.2 Vectơ 

Vectơ là một trường hợp cụ thể của Ma trận, có một cột duy nhất.

Đó là Ma trận nx 1 .

Ở đây  y  là vectơ 3 chiều và có thể được biểu diễn dưới dạng R^3.

Để biểu diễn một phần tử trong vectơ, chúng ta sử dụng ký hiệu sau:

( Ở đây y1 = 546; y2 = 678; y3=345 )

Các vectơ có thể được lập chỉ mục 1 và cũng có thể được lập chỉ mục 0 trừ khi được chỉ định. Sử dụng 1 chỉ mục là an toàn.

Thông thường, chữ in hoa được sử dụng để chỉ Ma trận, trong khi chữ thường được sử dụng cho Vector.

2. Các phép tính của ma trận 

Dưới đây sẽ là các phép tính của ma trận, cùng Happymath theo dõi ngay nào! 

2.1 Phép cộng ma trận 

Các phần tử của Ma trận thứ nhất được thêm vào các phần tử tương ứng của Ma trận thứ hai bằng cách sử dụng số hàng và số cột. Chỉ có thể thêm các ma trận có cùng kích thước vì Ma trận mới được hình thành cũng sẽ có các kích thước chính xác.

Ví dụ: 

2.2 Phép nhân ma trận 

Phép nhân ma trận tạo ra ma trận kết quả từ hai ma trận. Điều kiện cơ bản để nhân ma trận là số cột của Ma trận thứ nhất phải bằng số hàng của Ma trận thứ hai. Ma trận kết quả có số hàng từ Ma trận đầu tiên và số cột từ Ma trận thứ hai. Tích của ma trận  X  và  Y  được ký hiệu là  XY .

Ở đây ta nhân từng phần tử ở hàng của Ma trận thứ nhất với các phần tử tương ứng ở cột của Ma trận thứ hai rồi cộng chúng lại để thu được kết quả. 

Ví dụ: 

c1 = a1.b1 + a2.b2 + a3.b3

2.3 Thuộc tính nhân của ma trận 

• Không giao hoán: Cho A và B là ma trận.

Khi đó: A x B # B x A 

• Tính kết hợp: Phép nhân ma trận có tính kết hợp, Cho A, B, C là ba ma trận. Khi đó  A x (B x C) = (A x B) x C

2.4 Ma trận đơn vị 

Ma trận nhận dạng có kích thước n được định nghĩa là  Ma trận vuông [ nxn ]  có số 1 dọc theo đường chéo và số 0 ở nơi khác. 

Ví dụ: 

2.5 Ma trận chéo 

Ma trận đường chéo có kích thước n được định nghĩa là  Ma trận vuông [ nxn ]  với tất cả các phần tử bằng 0 ngoại trừ các phần tử nằm trên đường chéo.

2.6 Ma trận nghịch đảo 

Nghịch đảo của ma trận là một ma trận khác tạo ra ma trận đẳng thức khi nhân với Ma trận đã cho. Không phải tất cả các số đều có nghịch đảo, tức là 0^-1 không tồn tại; Tương tự, không phải tất cả các ma trận đều có nghịch đảo. Các ma trận không có nghịch đảo là ma trận "số ít" hoặc "suy biến".

3. Phép toán của vectơ 

3.1 Phép cộng và trừ vectơ 

Để thực hiện phép cộng (hoặc trừ) hai vectơ, bạn chỉ cần cộng (hoặc trừ) các thành phần tương ứng của chúng.

3.2 Phép nhân của vectơ 

Để thu được y1, chúng ta nhân hàng của A với các phần tử của vectơ  x và cộng chúng lại. 

Số cột trong Ma trận  A phải bằng số hàng trong ma  trận B

4. Phép nhân ma trận với vectơ

Nhân một ma trận với một vectơ: Để nhân một ma trận với một vectơ, bạn tính tổng của tích của từng hàng của ma trận với phần tử tương ứng của vectơ.

5. Nhân ma trận với ma trận 

Nhân hai ma trận: Để nhân hai ma trận, bạn tính tổng của tích của từng hàng của ma trận đầu tiên với từng cột của ma trận thứ hai.

Lưu ý: Để thực hiện phép nhân ma trận, số cột của ma trận đầu tiên phải bằng số hạng của ma trận thứ hai.

6. Bài tập 

Dưới đây là một số bài tập liên quan đến các phép toán cơ bản trên ma trận và vectơ:

Bài tập 1: Cộng và trừ vectơ:

Đề bài: 

Hướng dẫn giải: 

Bài tập 2: Nhân vectơ với một số vô hướng:

Đề bài: 

Hướng dẫn giải: 

Bài tập 3: Nhân ma trận với vectơ:

Đề bài: 

Hướng dẫn giải: 

Bài tập 4: Nhân ma trận với ma trận:

Đề bài: 

Hướng dẫn giải: 

Bài tập 5: Nhân ma trận nghịch đảo:

Đề bài: 

Hướng dẫn giải: 

7. Tổng kết

Qua bài viết này, chúng ta đã được giới thiệu về các phép toán cơ bản trên ma trận và vectơ. Với kiến thức này, chúng ta có thể áp dụng các phép toán trên ma trận và vectơ vào các bài tập toán cơ bản đến các thuật toán machine learning phức tạp. Đồng thời, việc hiểu biết về các phép toán này cũng giúp nắm bắt và xử lý hiệu quả các dữ liệu đa chiều.