Higher Degree Polynomial Equations - Phương Trình Đa Thức Bậc Cao

Phương trình đa thức bậc cao là loại phương trình đặc biệt quan trọng vì nó giúp chúng ta tìm ra các giá trị của biến số để phương trình trở thành một phương trình đúng. Khái niệm về phương trình đa thức bậc cao bao gồm cả các hệ số và bậc của đa thức. Theo dõi ngay bài viết dưới đây để tìm hiểu về phương trình đa thức bậc cao, phương pháp giải và các bài tập rèn luyện nhé! 

1. Phương trình đa thức bậc cao là gì? 

Phương trình đa thức bậc cao là một phương trình trong đó một biến số được liên kết với một hàm đa thức, và biến số này có một hoặc nhiều hệ số không xác định. Một phương trình đa thức bậc cao thường có dạng: 

trong đó n là bậc của phương trình, và a, b, c, ..., z là các hệ số. Mục tiêu của việc giải phương trình đa thức bậc cao là tìm các giá trị của biến số đó để phương trình trở thành một phương trình đúng. Phương trình đa thức bậc cao thường được giải bằng các phương pháp như phân tích bằng định thức, phân rã thành các nhân tử, hoặc sử dụng các phương pháp số học như phương pháp Newton-Raphson.

2. Các phương pháp giải phương trình đa thức bậc cao 

Dưới đây là một số phương pháp phổ biến để giải các phương trình đa thức bậc cao:

2.1 Giải phương trình đa thức bậc cao bằng phương pháp phân rã 

Đây là phương pháp dùng khi phương trình có thể phân rã thành các nhân tử tương ứng với các giá trị của biến số. 

Ví dụ, phương trình        (𝑥−2)(𝑥+2)=0, từ đó ta có hai giải là 𝑥=2, 𝑥=−2

2.2 Giải phương trình đa thức bậc cao bằng phương pháp thay thế

Giải phương trình bậc cao bằng cách thay thế

Để giải phương trình bậc cao hơn, chúng ta có thể sử dụng phép thế để chuyển phương trình đã cho thành phương trình bậc hai, sau đó giải phương trình bậc hai để xác định nghiệm của phương trình ban đầu.

Ví dụ: giả sử chúng ta có phương trình: 

Nếu chúng ta để z = x^2, sau đó thay thế phương trình này vào phương trình ban đầu, chúng ta có thể viết lại thành:

,

Đó là một phương trình bậc hai mà chúng ta có thể giải (bằng cách phân tích nhân tử hoặc sử dụng phương trình bậc hai).

Sau khi giải xong ta có thể đưa ra lời giải cho  tương đương với x^2, sau đó giải cho x. 

2.3 Phương pháp Newton-Raphson

Đây là một phương pháp số học để tìm nghiệm xấp xỉ của một phương trình bằng cách sử dụng các giá trị ban đầu và đạo hàm của hàm số. Phương pháp này có thể được áp dụng để giải các phương trình đa thức bậc cao.

2.4 Sử dụng định lý Viete

Định lý Viete cung cấp mối quan hệ giữa các nghiệm của phương trình và các hệ số của nó. Bằng cách sử dụng định lý Viete, ta có thể tính toán các giá trị của nghiệm một cách hiệu quả.

2.5 Phương pháp chia dư

Phương pháp này dùng khi biết một số nghiệm của phương trình và cần tìm các nghiệm còn lại. Ta chia phương trình cho \((x - x_1)\) (với \(x_1\) là một nghiệm đã biết) và giải phương trình thu được để tìm các nghiệm còn lại.

Các phương pháp này thường được sử dụng để giải các phương trình đa thức bậc cao một cách hiệu quả trong thực tế.

3. Bài tập rèn luyện 

Bài 1: 

Hướng dẫn giải:

Phương trình có thể phân rã thành (x−2)(x−3)=0. Do đó, hai giải pháp là x=2 và x=3.

Đáp án:

x=2 hoặc x=3.

Bài 2: 

Hướng dẫn giải:

Đáp án: x = 2

Bài 3: 

Hướng dẫn giải: 

Đáp án: 

Bài 4: 

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 

Bài 5: 

Hướng dẫn giải:

Đáp án: x = 1 hoặc x = 2 

4. Tổng kết

Bài viết trên đã giúp các bạn khám phá phương trình đa thức bậc cao và các phương pháp giải phương trình đa thức bậc cao. Mỗi phương pháp mang lại một cách tiếp cận riêng để giải quyết các bài toán phức tạp và tìm ra các nghiệm của phương trình một cách chính xác. Đừng quên ôn luyện các dạng bài tập khác cùng http://happymath.edu.vn để có điểm số vượt bậc tại các kỳ thi.