Inverse matrices and properties - Ma trận nghịch đảo và tính chất

Ma trận nghịch đảo là một khái niệm cơ bản trong đại số tuyến tính, ma trận nghịch đảo có được bằng cách chia liên hợp của ma trận đã cho cho định thức của ma trận đã cho. Qua việc tìm hiểu về ma trận nghịch đảo và các tính chất của nó, chúng ta có thể hiểu rõ hơn về cách áp dụng nó vào giải quyết các bài toán thực tế. Hãy cùng http://happymath.edu.vn tìm hiểu về ma trận nghịch đảo và tính chất trong bài viết này nhé! 

1.Ma trận nghịch đảo là gì? 

Ma trận nghịch đảo là một khái niệm trong đại số tuyến tính, đặc biệt quan trọng trong việc giải các hệ phương trình tuyến tính và tính toán ma trận. Nếu một ma trận không có nghịch đảo, ta nói rằng ma trận đó không khả nghịch. Ma trận nghịch đảo thường được sử dụng để giải hệ phương trình tuyến tính, tính toán ma trận ngược và nhiều ứng dụng khác trong toán học và thực tế.

2. Tính chất của ma trận nghịch đảo

Nếu A là ma trận vuông không số ít thì tồn tại ma trận nxn A -1 , gọi là ma trận nghịch đảo của A sao cho thỏa mãn tính chất:

AA -1 = A -1 A = I, trong đó I là ma trận đơn vị

Ma trận nhận dạng cho ma trận 2 x 2 được cho bởi

Cần lưu ý rằng để tìm ma trận nghịch đảo, ma trận vuông phải là ma trận không số ít có giá trị định thức không bằng 0.

Ta lấy ma trận vuông A

Trong đó a, b, c và d đại diện cho số.

Định thức của ma trận A được viết dưới dạng ad-bc, trong đó  giá trị của định thức không bằng 0 khi tồn tại nghịch đảo . Ma trận nghịch đảo có thể tìm được cho các ma trận 2×2, 3×3, …n × n. Việc tìm nghịch đảo của ma trận 3×3 khó hơn một chút so với việc tìm nghịch đảo của ma trận 2×2 .

2.1 Thuộc tính nghịch đảo của ma trận 

Dưới đây là danh sách các thuộc tính của ma trận nghịch đảo. Đi qua nó và đơn giản hóa các vấn đề phức tạp.

Nếu A và B là ma trận không suy biến thì ma trận nghịch đảo phải có các tính chất sau

3. Phương pháp giải ma trận nghịch đảo 

Nghịch đảo của ma trận được giải bằng những phương pháp khác nhau. Tuy nhiên, khi bạn sử dụng bất kỳ phương pháp nào trong ba phương pháp này sẽ tạo ra kết quả tương tự nhau.

Dưới đây là những phương pháp phổ biến để giải ma trận nghịch đảo:

3.1 Phương pháp Gauss-Jordan

Phương pháp này dựa trên việc thực hiện các phép biến đổi hàng và cột trên ma trận để biến đổi ma trận gốc thành ma trận đơn vị, và sau đó ma trận nghịch đảo được tạo ra bên cạnh ma trận đơn vị.

Ví dụ:

Hướng dẫn: 

Đáp án:

3.2 Sử dụng ma trận bổ sung 

Ta có thể tạo ma trận bổ sung bằng cách nối ma trận đơn vị với ma trận gốc và sau đó áp dụng phép biến đổi hàng để chuyển ma trận gốc thành ma trận đơn vị. Sau đó, ma trận nghịch đảo sẽ nằm ở phần ma trận bổ sung.

3.3 Sử dụng phương pháp phân rã LU

 Ma trận nghịch đảo có thể được tính bằng cách sử dụng phương pháp phân rã LU, trong đó ma trận gốc được phân rã thành tích của hai ma trận tam giác dưới và tam giác trên.

Ví dụ: 

Hướng dẫn: 

• Phân rã ma trận C thành tích của hai ma trận tam giác dưới và tam giác trên.
• Giải hệ phương trình tuyến tính để tìm các ma trận tam giác dưới và tam giác trên.
• Tính ma trận nghịch đảo từ phân rã LU.

3.4 Sử dụng phép đối xứng

Nếu ma trận gốc là một ma trận đối xứng và không-singular, ta có thể sử dụng công thức 

trong đó adj (A) là ma trận chuyển vị của ma trận phụ hợp của A.

3.5 Sử dụng phương pháp tính toán trực tiếp 

Đối với các ma trận nhỏ, ta có thể sử dụng công thức đơn giản để tính toán ma trận nghịch đảo

Ví dụ: 

Hướng dẫn: 

Đáp án: 

Bài tập rèn luyện 

Bài 1: 

Hướng dẫn giải:

• Bước 1: Mở rộng ma trận A thành ma trận bổ sung [𝐴∣𝐼]
• Bước 2: Áp dụng phép biến đổi hàng và cột để biến ma trận A thành ma trận đơn vị.
• Bước 3: Ma trận bên phải sau khi biến đổi sẽ là ma trận nghịch đảo.

Đáp án:

Bài 2: 

Hướng dẫn giải:

Đáp án:

Bài 3: 

Hướng dẫn giải: 

• Phân rã ma trận C thành tích của hai ma trận tam giác dưới và tam giác trên.
• Giải hệ phương trình tuyến tính để tìm các ma trận tam giác dưới và tam giác trên.
• Tính ma trận nghịch đảo từ phân rã LU.

Đáp án: 

Bài 4: 

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 

Bài 5: 

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 

4. Tổng kết

Ma trận nghịch đảo có tính chất và phương pháp giải vô cùng thú vị. Mỗi phương pháp mang lại một cách tiếp cận khác nhau để tính toán ma trận nghịch đảo. Mong rằng bài viết trên đã giúp bạn nắm vững kiến thức về ma trận nghịch đảo. Đừng quên theo dõi http://happymath.edu.vn để cập nhật thêm những kiến thức giá trị trong lĩnh vực toán học.