Methods to Solve Linear Systems - Cách Giải Hệ Tuyến Tính

Chúng ta đã biết rằng trong phương trình tuyến tính, có một mối quan hệ đơn giản giữa các biến x và y: Khi x tăng, y cũng tăng hoặc giảm theo một quy luật nhất định. Khi chúng ta vẽ đồ thị của phương trình này trên mặt phẳng Descartes, chúng ta thường nhìn thấy một đường thẳng với một độ dốc nhất định. Nhưng thực ra, hệ phương trình tuyến tính là gì và làm thế nào để giải chúng? Hãy cùng đi sâu vào khái niệm này và tìm hiểu một số cách đơn giản để giải quyết các phương trình này.

1. Hệ phương trình tuyến tính là gì?

Bạn có thể hiểu đơn giản về hệ tuyến tính như sau: Trong khi phương trình tuyến tính chỉ chứa một dòng thì hệ phương trình tuyến tính chứa nhiều phương trình tuyến tính. Một hệ phương trình tuyến tính có thể chứa 2 hoặc nhiều phương trình tuyến tính.

2. Các khả năng xảy ra của hệ phương trình tuyến tính

Nếu chúng ta có hai phương trình tuyến tính thì đồ thị của hệ hai phương trình là một cặp đường thẳng trên mặt phẳng Descartes. Trong trường hợp này, có ba khả năng chúng ta có thể xem xét:

• Hai đường này không hề giao nhau. Không có điểm giao nhau và các đường thẳng song song.
• Các đường cắt nhau tại đúng một điểm - và chỉ một điểm. Đây là kết quả phổ biến nhất.
• Các đường thẳng cắt nhau tại vô số điểm. Điều này có nghĩa là hai dòng chiếm cùng một vị trí. Chúng ta cũng có thể nói rằng chúng là cùng một dòng.

2.1 Hệ phương trình tuyến tính trong đó các đường thẳng không cắt nhau

Hệ phương trình tuyến tính có các đường thẳng không cắt nhau sẽ có dạng hai đường thẳng song song như hình dưới đây: 

Trong phương trình này, có hai phương trình tuyến tính:

𝑦=-2𝑥+4

𝑦=-2𝑥-4

Như chúng ta có thể thấy, hai đường này có độ dốc giống nhau nhưng chuyển vị ngang khác nhau. Đây là những gì chúng ta có thể mong đợi đối với tất cả các hệ phương trình tuyến tính tương tự với các đường thẳng song song. Chúng ta cũng nói rằng hệ này có "không nghiệm" vì không có điểm nào mà hai đường thẳng cắt nhau.

2.2 Hệ phương trình tuyến tính có đường thẳng cắt nhau tại một điểm

Hệ phương trình tuyến tính có đường thẳng cắt nhau tại một điểm là kết quả của hai đường thẳng cắt nhau nhau tại 1 điểm duy nhất. Nó sẽ có hình dạng như sau: 

Ở đây chúng ta có thể thấy rằng có hai phương trình tuyến tính khác nhau:

Để các đường thẳng của chúng ta song song, hai phương trình cần phải có những đặc điểm rất cụ thể. Nhưng để các đường giao nhau, chúng ta có thể sử dụng hầu hết các giá trị khác. Khả năng các đường thẳng không song song cao hơn nhiều. Chúng ta nói rằng hệ phương trình tuyến tính này có "một nghiệm" vì các đường thẳng cắt nhau một lần.

2.3 Hệ phương trình tuyến tính có cùng tọa độ 

Hệ phương trình tuyến tính có cùng tọa độ là hệ phương trình có hai đường thẳng trùng nhau trên biểu đồ tọa độ trên mặt phẳng. Hãy cùng xem ngay hình ảnh minh họa dưới đây nhé: 

Nếu nhìn kỹ, chúng ta có thể thấy rằng cả đường màu đỏ và đường màu xanh đều có chung tọa độ. Vậy nó hoạt động như thế nào? Làm thế nào hai phương trình tuyến tính có thể khác nhau nhưng lại có cùng tọa độ? Trong trường hợp này, chúng ta đang xử lý hai phương trình tương đương:

Mặc dù hai phương trình này khác nhau, nhưng chúng ta có thể sắp xếp lại một trong hai phương trình sao cho nó giống với phương trình thứ hai. Vì vậy, chúng tương đương nhau. Chúng ta nói rằng hệ này có "vô số nghiệm" vì hai đường thẳng có vô số điểm.

3. Các phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính 

Tiếp theo chúng ta sẽ cùng tìm hiểu về các phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính. Hãy theo dõi ngay nào! 

3.1 Phương pháp thay thế

Phương pháp này dựa trên việc thay thế một biến bằng một biểu thức trong phương trình khác để giải hệ phương trình.

Ví dụ: 

Hướng dẫn: 

Từ phương trình thứ nhất, ta có y = 5 - 2x. Thay y bằng 5 - 2x vào phương trình thứ hai để tìm x, sau đó tìm y từ giá trị x đã tìm được.

3.2 Phương pháp loại trừ

Phương pháp này tập trung vào việc loại bỏ một biến bằng cách cộng hoặc trừ các phương trình để tạo ra một phương trình mới chỉ chứa một biến.

Ví dụ: 

Hướng dẫn: 

Nhân phương trình thứ nhất với 3 và phương trình thứ hai với 4, sau đó cộng hai phương trình để loại bỏ x hoặc y.

3.3 Phương pháp đồ thị 

Phương pháp này sử dụng biểu đồ để biểu diễn các phương trình trên mặt phẳng và xác định nghiệm chung dựa trên điểm giao nhau của đồ thị.

Ví dụ:

Hướng dẫn:

Vẽ đồ thị của cả hai phương trình và xác định điểm giao nhau là nghiệm của hệ phương trình. Các phương pháp này là những công cụ hữu ích để giải quyết các hệ phương trình tuyến tính và áp dụng vào nhiều bài toán thực tế.

4. Bài tập rèn luyện 

Bài 1: 

Giải hệ phương trình dưới đây: 

Hướng dẫn giải:

Áp dụng phương pháp loại trừ hoặc phương pháp thay thế để tìm giá trị của x và y. 

Đáp án: x = 2, y = 2

Bài 2: 

Giải hệ phương trình dưới đây: 

Hướng dẫn giải:

 Sử dụng phương pháp thay thế hoặc phương pháp loại trừ để tìm giá trị của x và y. 

Đáp án:

Bài 3: 

Giải hệ phương trình dưới đây: 

Hướng dẫn giải:

Áp dụng phương pháp loại trừ hoặc phương pháp đồ thị để tìm giá trị của x và y 

Đáp án: x = 2 , y = 2 

Bài 4: 

Giải hệ phương trình dưới đây: 

Hướng dẫn giải: 

Sử dụng phương pháp loại trừ hoặc phương pháp thay thế để tìm giá trị của x và y 

Đáp án:  x = 2, y = -1 

Bài 5: 

Giải hệ phương trình dưới đây: 

Hướng dẫn giải: 

Sử dụng phương pháp loại trừ hoặc phương pháp đồ thị để tìm giá trị của x và y 

Đáp án: 

x = 2, y = 3 

5. Tổng kết

Khái niệm chung của các hệ phương trình tuyến tính khá đơn giản, nhưng việc giải các hệ phương trình này bao gồm nhiều bước. Chính vì vậy ngay từ đầu bạn cần nắm vững được kiến thức và cách giải các dạng toán với phương trình hệ tuyến tính. Nếu gặp khó khăn trong việc tiếp cận kiến thức, bạn hãy liên lạc ngay với happymath.edu.vn để được học với gia sư toán có kiến thức sâu và kỹ năng dạy chuyên nghiệp.