Polynomial (Đa thức là gì)
Trong đại số và giải tích, đa thức là một dạng toán rất quen thuộc đối với các bạn học sinh lớp 7. Nhưng để tìm hiểu sâu hơn về đa thức cũng như những phương pháp phân tích đa thức kèm bài tập thì các kiến thức dưới đây sẽ giúp các bạn có cái nhìn rõ ràng hơn về dạng toán này. Cùng mình tìm hiểu về những kiến thức cơ bản và luyện tập các bài tập về đa thức trong bài viết nhé!
Đăng ký học thử toán tiếng anh tại đây>>> https://dangky.happymath.vn/
1. Tổng quan về đa thức
Để làm tốt hơn các dạng toán của đa thức thì phần này là những kiến thức cơ bản cần ghi nhớ mà các bạn phải nắm rõ.
1.1. Đa thức là gì? Phân biệt đa thức và đơn thức
Đa thức là một tổng của những đơn thức mà mỗi đơn thức trong tổng đó gọi một hạng tử của đa thức đó. Như vậy thì mỗi đơn thức chính là đa thức.
Ví dụ: 5xy + 3y + 4, a (4xy + 7x) : đây là các đa thức.
Vậy làm thế nào để phân biệt đa thức và đơn thức?
- Đa thức: là một biểu thức nguyên được hình thành bởi các tổng của hai hay nhiều đơn thức.
- Đơn thức: có thể là một đa thức nhưng không thể là một phép cộng hoặc một phép trừ giữa các biến.
Bậc của các đa thức chính là bậc của những đơn thức cao nhất.
1.2. Nghiệm của đa thức là gì?
Sau khi đã hiểu được đa thức là gì thì các bạn đến phần định nghĩa về nghiệm của đa thức:
Thông thường các bài toán về đa thức sẽ là dạng tìm các nghiệm của đa thức, cũng chính là nghiệm của các phương trình đại số.
Nghĩa là:
Nếu ta có (x) là nghiệm của đa thức f(x) sẽ làm đa thức này bằng 0.
Và (x) cũng là nghiệm của đa thức g(x) cũng làm cho nó bằng 0
Suy ra: f(x) = g(x) = 0 (đây là nghiệm của phương trinh)
Đây là nghiệm của đa thức
Đa thức của m biến thì được gọi là đa thức của m ẩn.
1.3. Thu gọn đa thức là gì? Cách thu gọn đa thức
Khi thực hiện đưa các đa thức về dạng thu gọn đây là thu gọn đa thức. Tức là không còn các hạng tử nào còn đồng dạng nữa.
Có 2 bước đơn giản để thu gọn đơn thức như sau:
Bước 1: Hãy nhóm các đơn thức đồng dạng với nhau.
Bước 2: Tiếp theo các bạn cộng, trừ các đơn thức đồng dạng này trong từng nhóm.
Ví dụ:
4x² + 7xy - 8x² + 6 - 2xy
= ( 4x² - 8x² ) + ( 7xy - 2xy ) + 36
= -4x² + 5xy + 6
Kết quả: -4x² + 5xy + 6 đây chính đa thức được thu gọn của đa thức 4x² + 7xy - 8x² + 6 - 2xy
1.4. Bậc của đa thức
Sau khi các bạn thu gọn được đa thức thì sẽ tìm được bậc của đa thức. Vậy thì bậc của đa thức chính là bậc của hạng tử có bậc cao nhất sau khi đã rút gọn của đa thức đó.
Ví dụ: 4x² + 7xy - 8x² + 6 - 2xy rút gọn được đa thức có kết quả là: -4x² + 5xy + 6.
Vậy bậc của đa thức này là bậc 2 (vì x² hay xy đều là bậc 2)
Lưu ý: Nếu có số " 0 " thì đây là đa thức không có bậc.
2. Các phép tính của đa thức
Sau khi các bạn đã nắm kỹ định nghĩa về đa thức thì các phép toán của đa thức dưới đây sẽ giúp các bạn ứng dụng vào các dạng bài tập, như sau:
2.1. Phép cộng
Đối với phép cộng của đa thức thì các bạn thực hiện các bước sau:
- Bước 1: Hãy viết liên tiếp các hạng tử của hai đa thức đó cùng dấu của chúng với nhau
- Bước 2: Sau đó lần lượt thu gọn các hạng tử đồng dạng (nếu cần).
Ví dụ:
Tính đa thức: (x + 5y) +(7x - 3y)
Trước hết, hãy gộp các hạng tử cùng biến x và y lại với nhau như sau:
(x + 5y) +(7x - 3y) = (x + 7x) + (5y - 3y) = 8x + 2y
2.2. Phép trừ
Tiếp theo đến phép trừ của đa thức, khi trừ hai đa thức thì thực hiện 3 bước sau:
- Bước 1: Gộp các hạng tử của đa thức thứ nhất cùng với dấu của chúng với nhau.
- Bước 2: Tiếp theo viết các hạng tử của đa thức thứ hai nhưng với dấu ngược lại
- Bước 3: Tiến hành thu gọn các hạng tử đồng dạng.
Ví dụ:
Tính hiệu của đa thức: (3x + 7y) - (4x - 2y)
Với đa thức đầu tiên (3x + 7y) không dấu nên các bạn giữ nguyên, còn đa thức thứ hai có dầu trừ ở phía trước thì các bạn nên đổi dấu trong ngoặc sẽ thực hiện như sau:
(3x + 7y) - (4x - 2y) = 3x + 7y - 4x + 2y = (3x - 4x) + (7y + 2y) = -x + 9y
2.3. Phép nhân
Đối với phép nhân của đa thức thì có 2 dạng như sau:
Dạng 1 - Nhân đơn thức với hạng tử đa thức:
Trước hết hãy nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức sau đó cộng tổng chúng lại với nhau. Công thức tính:
A(B + C) = AB + AC
Ví dụ như sau: x(2y + 3) = 2xy + 3x
Dạng 2 - Nhân các đa thức:
Lần lượt nhân từng hạng tử của đa thức này với các hạng tử của đa thức kia, sau đó cộng tổng chúng lại với nhau. Công thức tính:
(A + B) x (C + D) = AC + AD + BC + BD
Ví dụ: (3x + 4)(5y + 6) = 18x + 15xy + 20y + 24
2.4. Phép chia
Phép chia của đa thức được chia thành 2 dạng:
Dạng 1 - Chia các hạng tử đa thức với đơn thức:
Lần lượt chia từng hạng tử của đa thức cho đơn thức sau đó cộng tổng chúng lại với nhau. Ví dụ về chia đa thức cho đơn thức như sau:
Dạng 2 - Chia đa thức cho đa thức:
Với dạng này thì sắp xếp đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến rồi thực hiện phép chia. Ví dụ về dạng này:
3. Các phương pháp phân tích các đa thức thành nhân tử
Đây là 4 phương pháp mà bạn có thể linh hoạt phối hợp để phân tích các đa thức thành các phần tử một cách nhanh nhất và dễ dàng hơn:
3.1. Phương pháp đặt nhân tử chung
Đây là phương pháp đầu tiên và được áp dụng nhiều nhất để phân tích nhân tử. Cho nên các bạn cần chú ý và luyện phản xạ để đặt ra nhân tử chung nhanh nhất.
Ví dụ: Hãy phân tích đa thức sau thành nhân tử: 4x.(2x + y) – 3y.(y+ 2x)
Lời giải:
4x.(2x + y) – 3y.(y+ 2x)
= 4x. (2x+ y) – 3y(2x + y)
= ( 4x – 3y). (2x + y)
3.2. Phương pháp sử dụng hằng đẳng thức
Tiếp theo là phương pháp khó hơn chút nhưng khi quen cách này thì việc nhận dạng các hằng đẳng thức sẽ cực kỳ dễ dàng để áp dụng.
Ví dụ:
- (x + 5)² - 16
= (x + 5)² - 4²
= (x + 5 + 4) x (x + 5 - 4)
= (x + 9) x (x + 1)
3.3. Phương pháp nhóm nhiều hạng tử
Với phương pháp này thì bạn phải kết hợp tư duy cả hai phương pháp ở trên.
3.4. Phương pháp thêm bớt hạng tử hoặc tách hạng tử
Cuối cùng là phương pháp đòi hỏi bạn phải khéo léo và sự tư duy cao hơn. Khi đã thuần thục những phương pháp trên thì việc áp dụng sẽ rất dễ dàng.
Ví dụ: M = x² + 10x + 9
4. Các bài toán đa thức thường gặp có lời giải
Đây là các dạng toán về đa thức mà các bạn sẽ hay gặp, hãy thực hành nhuần nhuyễn các bài tập sau:
Bài tập 1: Tìm bậc của đa thức
Bài tập 2: Thu gọn đa thức
Bài tập 3: Thu gọn đa thức
Với dạng toán thì nên sử dụng máy tính cầm tay để kết quả chính xác và nhanh nhất về các giá trị của đa thức.
Bài tập 4: Phân tích đa thức thành nhân tử
Bài tập 5: Chia đa thức với các đơn thức
Lời giải như sau:
Bài tập 1:
Bài tập 2:
Bài tập 3:
Bài tập 4:
Bài tập 5:
5. Tổng kết
Hy vọng qua bài viết này giúp các bạn hiểu rõ hơn về đa thức là gì, bậc của đơn thức cũng như các phương pháp phân tích các đa thức thành phân tử và cách giải các bài tập về dạng toán đa thức cơ bản này. Hãy kiên trì và luyện tập các bài tập để đạt kết quả tốt nhất trong môn Toán!