Prime Numbers (Số nguyên tố)

Prime Number (số nguyên tố) là khái niệm chắc chắn ai cũng được làm quen khi bắt đầu với môn toán các khối từ cấp trung học. Đây cũng là nền tảng của Toán học. Tuy nhiên, được biết đến ngay từ khi bước vào học toán từ những năm cấp 2, nhưng không phải ai cũng nắm được hết các tính chất đặc trưng của nó. Hãy cùng Happymath.edu.vn tìm hiểu về số nguyên tố trong bài viết này.

1. Giới thiệu chung về số nguyên tố

Khái niệm Prime Number (số nguyên tố): Số tự nhiên lớn hơn 1 và chỉ có hai ước số là 1 và chính nó. Lưu ý, số 1 và số 0 không được coi là số nguyên tố.

Một số ví dụ về Prime Number (số nguyên tố): 

Các số nguyên tố thường gặp 2, 3, 5, 7, 9, …và một vài số nguyên tố đặc biệt như:

• Số nguyên tố nhỏ nhất có 1 chữ số là “2”.
• Số nguyên tố có 2 chữ số nhỏ nhất là số “11”.
• Số nguyên tố nhỏ nhất có 3 chữ số là “111”.
• Số nguyên tố lớn nhất có 3 chữ số là “997”.

Vai trò quan trọng của số nguyên tố trong toán học và khoa học máy tính rất quan trọng. Các số nguyên tố chính là thành phần chủ chốt tạo nên các kiến thức toán học mà học sinh các cấp đang học.

2.Các thuật ngữ liên quan đến số nguyên tố

Khi đã biết Prime Number (số nguyên tố) là gì, bạn có thể tham khảo thêm các thuật ngữ/khái niệm liên quan đến những con số này dưới đây nhé!

2.1.Các số nguyên tố cùng nhau

Nếu ước chung lớn nhất của a và b là 1 thì a và b được gọi là nguyên tố cùng nhau.

Ví dụ: số 5 và 23 là số nguyên tố cùng nhau vì ước chung lớn nhất của cả hai số là 1.

2.2.Số siêu nguyên tố

Số abc được gọi là số siêu nguyên tố, nếu bỏ c hoặc bc thì a vẫn là số nguyên tố. Ví dụ: 1337 là số siêu nguyên tố có 4 chữ số vì nếu bỏ đi các chữ số 7 hoặc 37 thì 133 hoặc 13 cũng là số nguyên tố.

2.3.Tích các thừa số nguyên tố

Tích của các thừa số nguyên tố là phép nhân các số nguyên tố.

Ví dụ:

6 = 2 * 3 trong đó 2 và 3 là các số nguyên tố

105 = 3 * 5 * 7. Trong đó 3, 5 và 7 là các số nguyên tố.

3.Tính chất của số nguyên tố

Số nguyên tố có một số tính chất đặc biệt mà khi học toán người học cần lưu ý:

• Số 0 và số 1 không phải là số nguyên tố.
• Mọi số nguyên tố đều là số lẻ (trừ số 2 và số 2 cũng là số nguyên tố nhỏ nhất).
• Số nguyên tố là vô hạn (chỉ cần thỏa mãn điều kiện chỉ có ước chung là 1 và chính nó).
• Tích của 2 số nguyên tố không thể là một số chính phương.
• Số lượng các số nguyên tố là không giới hạn. Dãy số nguyên tố thường lần lượt là các số lẻ và không có công thức liệt kê được tất cả các số nguyên tố.

Phân tích một số tự nhiên lớn hơn 1 thành tích các số nguyên tố. Một số nguyên tố không thể được phân tích dưới dạng 2 số nguyên dương.  Ví dụ như số 27, không thể là tích của 2 số nguyên dương.

4.Các cách để tìm ra số nguyên tố

Để giúp bạn có thể tìm được Prime Number (số nguyên tố) nhanh nhất, chúng tôi sẽ chia sẻ đến bạn một vài cách sau đây: 

4.1.Quy tắc Euclid để tìm số nguyên tố

Thuật toán Euclid là thuật toán được dùng để tìm số nguyên dương. Người giải toán ứng dụng chia số lớn hơn cho số nhỏ, để có thể tìm ra kết quả với số dư bằng 0. Từ đó kết luận ước chung lớn nhất của 2 số. Và với cách tìm ước chung lớn nhất của 2 số như này, thì 2 số nếu có ước chung lớn nhất sẽ được kết luận không phải là số nguyên tố.

4.2.Phương pháp thử nghiệm đơn giản

Với cách sử dụng bảng số nguyên tố để xác định số nguyên tố, thì các bước thực hiện như sau:

• Bước 1: Xác định số nguyên tố n
• Bước 2: Kiểm tra nếu số n nhỏ hơn 1 thì kết luận đó không phải số nguyên tố.
• Bước 3: Lặp từ 2 tới số (n-1), nếu tồn tại 1 số mà n chia hết thì kết luận không phải là số nguyên tố. Nếu kết quả ngược lại thì đúng là số nguyên tố.

4.3.Tìm số nguyên tố Z trong khoảng 2 - (Z-1)

Nếu Z nhỏ hơn 2 thì Z không phải là số nguyên tố. Nếu Z > 2 và trong khoảng 2 - (Z - 1) không có số mà Z chia hết thì Z là số nguyên tố.  Ví dụ minh họa: Z = 13, trong khoảng 2 - 12 có các số sau: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 và Z không chia hết cho số nào. Vậy Z chính là số nguyên tố.

4.4.Tìm số nguyên tố A trong khoảng 2 – (A – 2)

Nếu trong khoảng 2 – (A – 2) có số lẻ mà A không chia hết thì A là số nguyên tố. Ví dụ A = 13, trong khoảng 2 – 11 có các số lẻ là 3, 5, 7, 9; 13 không chia hết cho số nào => 13 là một số nguyên tố.

5.Ứng dụng của số nguyên tố

Prime Number (số nguyên tố) có rất nhiều ứng dụng trong toán học. Nó là thành phần không thể thiếu với bộ môn này.

• Mã hóa và giải mã thông tin.
• Xác định tính nguyên tố của một số.
• Kiểm tra tính chia hết của một số.
• Tìm ước số chung lớn nhất và bội số chung nhỏ nhất của hai số.
• Giải các bài toán về số nguyên tố.

6.Bài tập ví dụ về số nguyên tố

Bài tập 1: Trong các số sau: 77, 79, 121, 387. Số nào là số nguyên tố, vì sao?

Đáp án: Số nguyên tố là: 79. Vì 79 chỉ có ước là 1 và chính nó.

Bài tập 2: Tìm 3 STN lẻ liên tiếp đều là các số nguyên tố

Đáp án: 

Gọi các số tự nhiên cần tìm lần lượt là: p; p + 2; p + 4 (p là số lẻ).

Trong 3 số p; p + 2; p + 4 có 1 số chia hết cho 3.

Có số 3 là Số nguyên tố duy nhất chỉ chia hết cho 3 và 1 (vì 3 là chính nó).

Bài tập 3: Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho mỗi số sau đều là số nguyên tố: n–5; n–3; n+1;

Đáp án:

Số nguyên tố nhỏ nhất là 1 nên (n–5)>1, nên n>6, ta có:

n–5=6–5=1.

n–4=6–4=2.

n–3=6–3=3.

n–1=6–1=5.

n+1=6+1=7.

n+5=6+5=11.

Ta thấy: 1, 2, 3, 5, 7, 11 đều là số nguyên tố. Do đó, n=6 thỏa mãn yêu cầu của bài toán nên số tự nhiên n cần tìm là 6.

Bài tập 4: Tìm k số tự nhiên sao cho 13k và 17k đều là số nguyên tố.

Đáp án:

Số nguyên tố là số tự nhiên chỉ chia hết cho 1 và chính nó.

Chúng ta có 13 và 17 là hai số nguyên tố.

Nếu (13 x k) là số nguyên tố thì k=1

Nếu (17 x k) là số nguyên tố thì k=1

Do đó, khi k=1 thì 13k và 17k là số nguyên tố.

Ngoài các ví dụ trên thì việc áp dụng số nguyên tố trong toán học là điều cần thiết. Tính chất của số nguyên tố có các tính chất hay áp dụng trong giải toán như là: số nguyên tố chỉ chia hết cho 1 và chính nó. 

Trong quá trình học toán, người học cần chú ý để ứng dụng trong các bài làm của mình.

7.Tổng kết

Với khái niệm cơ bản về Prime Number (số nguyên tố) nêu trên, chắc hẳn người học có thể dễ dàng xác định được số nguyên tố. Đây là thành phần rất quan trọng trong học thuật nói chung và toán học nói riêng. Khi hiểu rõ về tính chất rồi thì việc ứng dụng để tìm số nguyên tố cũng rất đơn giản.