Solving Nonlinear Systems - Giải hệ phi tuyến
Hệ phi tuyến là những hệ phương trình mà các biến không thể được liên kết với nhau theo cách tuyến tính đơn giản. Vì vậy để hiểu rõ về hệ phi tuyến và các phương pháp giải hệ phi tuyến, bạn hãy theo dõi ngay bài viết dưới đây cùng http://happymath.edu.vn nhé!
1. Hệ phương trình phi tuyến là gì?
Hệ phương trình phi tuyến là một tập hợp các phương trình mà mối quan hệ giữa các biến không phải là mối quan hệ tuyến tính. Trong hệ phương trình này, các biến có thể được mối quan hệ theo các hàm phi tuyến, tức là các hàm không phải là hàm tuyến tính. Trong hệ phương trình phi tuyến, các biến có thể có mối quan hệ phức tạp, không thể biểu diễn bằng các hàm tuyến tính đơn giản như trong trường hợp của hệ phương trình tuyến tính.
2. Cách giải hệ phi tuyến
Với các hệ phương trình phi tuyến, đồ thị có thể là đường tròn, parabol hoặc hyperbol và có thể có một số điểm giao nhau và do đó có nhiều nghiệm. Sau khi bạn xác định được các biểu đồ, hãy hình dung các cách khác nhau mà các biểu đồ có thể giao nhau và từ đó có thể có bao nhiêu giải pháp.
2.1 Cách giải hệ phi tuyến bằng đồ thị
Để giải hệ phương trình phi tuyến bằng đồ thị, về cơ bản chúng ta sử dụng các bước tương tự như với hệ phương trình tuyến tính được sửa đổi một chút cho phương trình phi tuyến. Các bước giải có trình tự như sau:
- Xác định đồ thị của mỗi phương trình. Phác thảo các phương án có thể có cho giao lộ.
- Vẽ đồ thị phương trình đầu tiên.
- Vẽ đồ thị phương trình thứ hai trên cùng một hệ tọa độ hình chữ nhật.
- Xác định xem các đồ thị có giao nhau hay không.
- Xác định các giao điểm.
- Kiểm tra xem mỗi cặp có thứ tự có phải là nghiệm của cả hai phương trình ban đầu hay không.
Phương pháp vẽ đồ thị hoạt động tốt khi các điểm giao nhau là số nguyên và rất dễ đọc trên đồ thị. Nhưng thường thì rất khó đọc tọa độ của các giao điểm. Vì vậy, hãy tìm hiểu ngay phương pháp tiếp theo để giải hệ phương trình phi tuyến nhé.
2.2 Giải hệ phương trình phi tuyến bằng phương pháp thay thế
Phương pháp thay thế là một phương pháp đại số sẽ hoạt động tốt trong nhiều tình huống. Nó hoạt động đặc biệt tốt khi dễ dàng giải một trong các phương trình cho một trong các biến. Phương pháp thay thế rất giống với phương pháp thay thế mà chúng ta đã sử dụng cho các hệ phương trình tuyến tính. Các bước giải sẽ có trình tự như sau:
- Xác định đồ thị của mỗi phương trình. Phác thảo các phương án có thể có cho giao lộ.
- Giải một trong các phương trình cho một trong hai biến.
- Thay thế biểu thức từ Bước 2 vào phương trình khác.
- Giải phương trình kết quả.
- Thay thế mỗi giải pháp ở Bước 4 vào một trong các phương trình ban đầu để tìm biến còn lại.
- Viết mỗi giải pháp thành một cặp có thứ tự.
- Kiểm tra xem mỗi cặp có thứ tự có phải là nghiệm của cả hai phương trình ban đầu hay không.
2.3 Giải hệ phương trình phi tuyến bằng phương pháp loại trừ
Khi sử dụng phép loại trừ, chúng ta cố gắng làm cho các hệ số của một biến trở nên đối lập nhau, vì vậy khi chúng ta cộng các phương trình lại với nhau, biến đó sẽ bị loại bỏ. Các bước giải hệ phương trình phi tuyến bằng phương pháp loại trừ như sau:
- Xác định đồ thị của mỗi phương trình. Phác thảo các phương án có thể có cho giao lộ.
- Viết cả hai phương trình ở dạng chuẩn.
- Làm cho các hệ số của một biến đối lập nhau.
- Quyết định biến nào bạn sẽ loại bỏ.
- Nhân một hoặc cả hai phương trình sao cho các hệ số của biến đó đối lập nhau.
- Thêm các phương trình thu được từ Bước 3 để loại bỏ một biến.
- Giải quyết biến còn lại.
- Thay thế mỗi giải pháp từ Bước 5 vào một trong các phương trình ban đầu. Sau đó giải tìm biến còn lại.
- Viết mỗi giải pháp thành một cặp có thứ tự.
- Kiểm tra xem mỗi cặp có thứ tự có phải là nghiệm của cả hai phương trình ban đầu hay không.
3. Bài tập rèn luyện
Bài 1:
Giải hệ phương trình dưới đây:
Hướng dẫn giải:
Đặt y=2x−3 từ phương trình thứ hai và thay vào phương trình thứ nhất để tìm giá trị của 𝑥. Sau đó, tìm giá trị tương ứng của 𝑦
Đáp án: x = 1, y = 4 hoặc x = -1, y = -4
Bài 2:
Giải hệ phương trình dưới đây:
Hướng dẫn giải:
Sử dụng phương pháp thử hoặc các phương pháp số để tìm nghiệm gần đúng.
Đáp án:
Bài 3:
Giải hệ phương trình dưới đây:
Hướng dẫn giải:
Đặt u = căn bậc hai của y và giải hệ phương trình dựa trên biến mới u.
Đáp án: x = 3 , y = 4
Bài 4:
Giải hệ phương trình dưới đây:
Hướng dẫn giải:
Đặt u=log(x) và giải hệ phương trình dựa trên biến mới 𝑢
Đáp án:
Bài 5:
Giải hệ phương trình dưới đây:
Hướng dẫn giải:
Đáp án:
4. Tổng kết
Qua các ví dụ và phương pháp giải, ta đã nhận thấy sự đa dạng và tính phức tạp của các hệ phương trình phi tuyến. Nếu bạn đang gặp khó khăn trong việc tiếp cận kiến thức, đừng ngần ngại liên hệ với happymath.edu.vn để được học với gia sư chất lượng và giúp bạn cải thiện điểm số ở mọi kỳ thi.