Systems of Equations - Tổng quan về hệ phương trình

Hệ phương trình là một trong những chủ đề kiến thức quan trọng không thể thiếu trong quá trình học của các bạn học sinh trung học. Đây là loại bài toán đòi hỏi sự vận dụng và tư duy linh hoạt trong quá trình giải. Trong bài viết dưới đây, chúng ta sẽ cùng http://happymath.edu.vn khám phá tổng quan về hệ phương trình và các dạng toán về hệ phương trình hay gặp nhé! 

Hệ phương trình là gì? 

Hệ phương trình là một tập hợp hoặc tập hợp các phương trình được xử lý cùng nhau.  Mỗi phương trình trong hệ phương trình thường mô tả một mối quan hệ giữa các biến số, và giải phương trình đồng nghĩa với việc tìm ra các giá trị của các biến số thỏa mãn tất cả các điều kiện trong hệ. 

1.1 Hệ phương trình cơ bản 

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn cơ bản thường được viết dưới dạng:

ax+by=c (1)

a1x+b1y=c1 (2)

Trong đó, các hệ số a, b, c, a1, b1, c1 là các số thực được cho trước, còn x và y là hai biến của hệ phương trình.

Một số điều cần lưu ý khi giải toán liên quan đến hệ phương trình:

•  Giải hệ phương trình nghĩa là tìm ra tất cả các nghiệm thỏa mãn cả hai phương trình của nó.
•  Hai hệ phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng một tập nghiệm.
•  Nghiệm của hệ phương trình là giá trị \((x,y)\) thỏa mãn cả hai phương trình (1) và (2) hay còn được gọi là nghiệm chung của hai phương trình này.
•  Trong trường hợp hai phương trình (1) và (2) không có nghiệm chung nào thì hệ phương trình vô nghiệm.

1.2 Hệ phương trình đẳng cấp

Hệ phương trình đẳng cấp là một dạng hệ phương trình đặc biệt có hai phương trình và hai ẩn, trong đó bậc của ẩn ở mỗi phương trình là giống nhau. Dạng tổng quát của hệ phương trình được viết dưới dạng: 

f(x;y)=a1

g(x;y)=a2

Trong đó, f và g là các hàm số có bậc của hai ẩn x,, y giống nhau. 

1.3 Hệ phương trình đối xứng

Hệ phương trình đối xứng là một dạng hệ phương trình đặc biệt mà khi thay đổi vai trò của hai biến x và y thì hệ phương trình không thay đổi. Cụ thể, hệ phương trình đối xứng có hai loại chính: đối xứng loại 1 và đối xứng loại 2.

•  Hệ phương trình đối xứng loại 1: là hệ phương trình mà trong đó hai biến x và y đối xứng với nhau trong mỗi phương trình riêng lẻ.

Ví dụ: 

•  Hệ phương trình đối xứng loại 2: là hệ phương trình mà khi ta thay đổi vị trí x và y của phương trình (1) thì sẽ được phương trình (2), và ngược lại.

Ví dụ: 

Các phương pháp giải hệ phương trình 

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn thường được giải bằng hai phương pháp là phương pháp thế và phương pháp cộng đại số.

2.1 Phương pháp thế 

Khi tìm giải hệ phương trình tuyến tính có giá trị thập phân hoặc phân số thì phương pháp thế chính xác hơn. Đó là quá trình giải một biến và sau đó thay giá trị của nó vào phương trình thứ hai để thu được giá trị của biến thứ hai và giải hệ đã cho. Sau đó kiểm tra nghiệm của cả hai phương trình. Cụ thể như sau: 

• Chọn một biến (thường là x hoặc y) trong một phương trình, giải nó ra theo biến còn lại.
• Thay giá trị của biến đã giải vào phương trình còn lại để tìm giá trị của biến còn lại.
• Lặp lại quá trình này cho đến khi tìm được giá trị của cả hai biến.

2.2 Phương pháp cộng đại số

Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số là cộng hai phương trình để loại bỏ một biến và giải phương trình chỉ có một ẩn với các bước thực hiện như sau: 

• Nhân hằng số vào mỗi phương trình sao cho hệ số của một biến trong mỗi phương trình trở nên bằng nhau.
• Cộng hai phương trình lại với nhau để loại bỏ một biến.
• Giải phương trình có một ẩn để tìm giá trị của biến đó.
• Thay giá trị của biến đã tìm được vào một trong hai phương trình ban đầu để tìm giá trị của biến còn lại.

Bài tập rèn luyện 

Bài 1: 

Hướng dẫn giải:

• Giải phương trình thứ nhất ra y: 𝑦=5−3𝑥
• y=5−3x
• Thay giá trị của y vào phương trình thứ hai: 2𝑥−(5−3𝑥)=1
• Giải phương trình trên để tìm x, sau đó thay vào phương trình thứ nhất để tìm y. 

Đáp án:

x = 2, y= 1

Bài 2: 

Giải hệ phương trình sau: 

Hướng dẫn giải:

• Giải phương trình thứ nhất ra x=10−3y
• Thay giá trị của x vào phương trình thứ hai: (10−3y)−2y=5
• Giải phương trình trên để tìm y, sau đó thay vào phương trình thứ nhất để tìm x.

Đáp án: 

x = 5, y = 0 

Bài 3:

Hướng dẫn giải: 

• Nhân hằng số vào phương trình thứ hai sao cho hệ số của y trở nên bằng nhau.
• Cộng hai phương trình lại với nhau và giải phương trình có một ẩn để tìm x.
• Thay giá trị của x vào phương trình thứ nhất để tìm y.

Đáp án: 

x = 2, y = 1 

Bài 4: 

Giải hệ phương trình sau: 

Hướng dẫn giải:

• Nhân hằng số vào phương trình thứ hai sao cho hệ số của y trở nên bằng nhau.
• Cộng hai phương trình lại với nhau và giải phương trình có một ẩn để tìm x.
• Thay giá trị của x vào phương trình thứ nhất để tìm y.

Đáp án: 

x = 2, y = 1  

Bài 5: Giải phương trình dưới đây

Hướng dẫn giải:

• Giải phương trình thứ nhất ra x: 𝑥=5+2𝑦
• Thay giá trị của x vào phương trình thứ hai: 3(5+2y)+4y=14
• Giải phương trình trên để tìm y, sau đó thay vào phương trình thứ nhất để tìm x.

Đáp án: 

x = 5, y = 2

4.Tổng kết

Hệ phương trình là dạng toán đầy thú vị với những phương pháp giải đơn giản, dễ tìm ra kết quả. Để vận dụng và giải được những bài toán của hệ phương trình, các bạn cần nắm rõ lý thuyết và rèn luyện các bài tập đa dạng và phức tạp hơn. Đừng quên đồng hành cùng http://happymath.edu.vn để có thể ôn luyện cùng gia sư chất lượng, giúp bạn bứt phá điểm số trong các kỳ kiểm tra.