Theorems about roots and coefficients of Polynomials (Các định lý về nghiệm và hệ số của đa thức)
Các định lý về nghiệm và hệ số của đa thức là những kiến thức cơ bản mà các bạn cần phải nắm vững để áp dụng vào các bài tập về đa thức trong chương trình toán lớp 7. Trong bài viết dưới đây, happymath.edu.vn sẽ giải thích chi tiết hơn về nghiệm và hệ số cùng bài tập và cả các ví dụ minh họa kèm theo. Các bạn cùng tham khảo nhé!
Đăng ký học thử toán tiếng anh tại đây>>> https://dangky.happymath.vn/
1. Nghiệm của đa thức là gì?
Khái niệm về nghiệm của đa thức như sau:
Số nghiệm của đa thức:
- Thường một đa thức (khác với đa thức 0) có thể có đến 1,2,3,....,n nghiệm hoặc không có nghiệm nào.
- Số nghiệm của đa thức (khác với đa thức 0) sẽ không thể vượt qua bậc của đa thức đó.
1.1. Các định lý về nghiệm của đa thức
Các định lý như sau:
- Định lý Cơ bản
Định lý này khẳng định rằng mọi đa thức không hằng số với hệ số phức có ít nhất một nghiệm phức. Điều này có nghĩa là bất kỳ đa thức nào cũng có thể được phân tích thành thừa số với các nghiệm.
- Định lý Bezout
Định lý này cho biết giá trị của x = c là nghiệm của đa thức 𝑃(𝑥) nếu và chỉ nếu c là ước của hệ số tự do trong đa thức khi đã được chia cho hệ số cao nhất.
1.2. Cách tìm nghiệm của đa thức
Để tính tính nghiệm của đa thức A(x) tại x = a thì thay x = a vào biểu thức A(x) rồi thực hiện phép tính.
Nghiệm nhận được là nghiệm của đa thức tại x = a
Nếu tại x = a, đa thức A(x) = 0, tức là F(a) = 0 thì a (hoặc x = a) đây là một nghiệm của đa thức A(x).
2. Hệ số của đa thức là gì?
Trong toán học, hệ số của đa thức là một số nhân tử có trong một vài số hạng của một đa thức.
Giá trị mà hệ số thường xuất hiện phía trước hoặc trong phép nhân với một giá trị khác của đa thức và thường là một số nhưng không phải biến số. Tức là một số hạng tử được nhân với một biến như x, y hoặc z; được gọi là hệ số.
Ví dụ hệ số trong đa thức:
5x² + 6y + 3z – 4 thì 5 là hệ số của x; 6 là hệ số của y; 3 là hệ số của z; 4 là hằng số.
2.1. Ý nghĩa của hệ số
Hệ số có ý nghĩa rất quan trọng trong Toán học, nhờ có hệ số mà có thể xác định được:
- Một hệ số của đa thức sẽ luôn gắn với một biến
- Nếu một biến không có số thì hệ số = 1
- Với 0 không làm hệ số của đa thức ( vì 0 khi nhân với mọi biến đều cho ra giá trị = 0)
Ví dụ: Đa thức 4x² – 3x + 2 có các hệ số 4; –3; 2 với lũy thừa của biến x trong đa thức này là ax² + bx + c có các hệ số a, b, c.
Hệ số được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực sẽ được quy ước như:
- Hệ số: hệ số sẽ được gắn với biến, biến này là một phần của thuật ngữ
- Biến: Là bất kỳ biến hoặc ký hiệu nào đó có thể đại diện cho một giá trị nào đó không xác định
- Hằng số: Là với mọi giá trị số tự do thì không đi kèm biến số. Nói cách khác với bất kì giá trị nào không phải hệ số hoặc biến số vẫn là hằng số và đây là số tự nhiên.
2.2. Các tìm hệ số đa thức
Để tìm được hệ số của một biến trong một số hạng thì có các bước dưới đây:
Bước 1: Đầu tiên, tập trung vào các biến số với cùng lũy thừa của nó mà có hệ số đang tìm.
Bước 2: Sau biến đó và tiếp tục xem xét tất cả các số hoặc biến khác được viết cùng với nó rồi loại bỏ lần lượt những thành phần đó, kết quả phần còn lại là hệ số của đa thức.
Ví dụ: Tìm các hệ số của x, y trong số hạng 5x²y.
Để tìm hệ số của x² đầu tiên phải tập trung vào x² và gạch bỏ phần x².
Sau đó lấy mọi thứ còn lại là 5y.
Từ đó nhận thấy hệ số của x² trong số hạng 5x²y là 5y.
Tương tự , suy ra được hệ số của y trong số hạng 5x²y là 5x².
Lưu ý: Khi thực hiện các bài toán tìm hệ số, hãy nhớ rằng hệ số là những con số đi kèm với các biến. Nếu một số không đi kèm với biến nào, nó được coi là một hằng số, không phải hệ số.
3. Các dạng bài tập vận dụng
Bài 3:
Bài 4:
Bài 5:
Hướng dẫn giải:
Bài 1:
Bài 2:
Bài 3:
Bài 4:
Bài 5:
Với Q(x) nhận –3 là nghiệm thì Q(–3) = 0 vậy sẽ tìm được a.
4. Tổng kết
Trên đây là những kiến thức cơ bản về các định lý về nghiệm và hệ số của đa thức trong Toán học lớp 7 mà happymath.edu.vn đã giải thích cho các bạn hiểu rõ hơn về các dạng toán này. Các bạn hãy thực hành nhiều hơn và lưu ý các dạng bài tập này để làm tốt hơn trong các bài kiểm tra nhé!