Types Of System - Các Loại Hệ Phương Trình
Trong toán học, hệ phương trình còn được gọi là tập hợp các phương trình đồng thời hoặc hệ phương trình là một tập hợp hữu hạn các phương trình mà chúng ta tìm kiếm nghiệm chung. Trong hệ phương trình, các biến có mối liên hệ theo một cách cụ thể trong mỗi phương trình. tức là các phương trình có thể được giải đồng thời để tìm ra tập giá trị của các biến thỏa mãn từng phương trình. Hãy theo dõi bài viết này để hiểu về các loại hệ phương trình và cách giải nhé!
1.Hệ phương trình là gì?
Hệ phương trình trong toán học là tập hợp các phương trình tuyến tính cần giải để tìm ra nghiệm chung. Một bài toán thực tế có hai hoặc nhiều ẩn số có thể được chuyển đổi thành một hệ phương trình và có thể được giải để tìm ra một tập hợp các giá trị biến thỏa mãn tất cả các phương trình.
1.1 Ví dụ về hệ phương trình
Hệ phương trình như đã thảo luận ở trên là một tập hợp các phương trình tìm nghiệm chung cho các biến được đưa vào. Tập hợp các phương trình tuyến tính sau đây là một ví dụ về hệ phương trình:
- 2x - y = 12
- x - 2y = 48
Lưu ý rằng các giá trị x = -8 và y = -28 thỏa mãn từng phương trình trên và do đó cặp (x, y) = (-8, -28) là nghiệm của hệ phương trình trên.
1.2. Giải hệ phương trình
Giải hệ phương trình có nghĩa là tìm giá trị của các biến được sử dụng trong tập hợp phương trình. Bất kỳ hệ phương trình nào cũng có thể được giải bằng các phương pháp khác nhau.
- Phương pháp thay thế
- Phương pháp loại bỏ
- Phương pháp đồ họa
- Phương pháp nhân chéo
Để giải hệ phương trình 2 biến ta cần ít nhất 2 phương trình. Tương tự, để giải hệ phương trình 3 biến ta cần ít nhất 3 phương trình. Hãy cùng tìm hiểu 3 cách giải hệ phương trình khi biết phương trình là phương trình tuyến tính hai biến.
2.1 Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp thay thế
Để giải hệ phương trình bằng phương pháp thay thế hai phương trình tuyến tính theo x và y, ở một trong các phương trình, hãy biểu thị y theo x ở một trong các phương trình rồi thay thế nó vào phương trình còn lại.
Ví dụ:
Hướng dẫn:
Chúng ta có thể giải phương trình thứ nhất để tìm giá trị của x hoặc y, sau đó thay vào phương trình thứ hai để tìm giá trị còn lại. Ví dụ, từ phương trình thứ nhất, ta có y = 5 - 2x. Thay y bằng 5 - 2x vào phương trình thứ hai để tìm x, và sau đó tìm y từ giá trị x đã tìm được.
2.2 Giải hệ phương trình bằng phương pháp khử
Sử dụng phương pháp khử để giải hệ phương trình, ta loại bỏ một trong các ẩn số bằng cách nhân phương trình với các số thích hợp sao cho hệ số của một biến bằng nhau.
Ví dụ:
Hướng dẫn:
Chúng ta có thể nhân các hệ số của một hoặc cả hai phương trình sao cho các biến bị loại bỏ khi cộng hoặc trừ. Ví dụ, nhân phương trình thứ nhất với 3 và phương trình thứ hai với 4, sau đó cộng hai phương trình để loại bỏ x hoặc y.
2.3 Giải hệ phương trình bằng đồ thị
Trong phương pháp này, việc giải hệ phương trình tuyến tính được thực hiện bằng cách vẽ đồ thị của chúng. “Giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm của hệ phương trình bằng phương pháp đồ thị”.
Ví dụ:
Hướng dẫn:
Vẽ đồ thị của cả hai phương trình trên một hệ trục tọa độ, và điểm giao nhau của hai đường thẳng là nghiệm của hệ phương trình.
2.4 Giải hệ phương trình bằng phương pháp ma trận
Phương pháp ma trận hay còn gọi là phương pháp nhân chéo. Phương pháp này sử dụng ma trận để biểu diễn hệ phương trình và áp dụng các phép biến đổi ma trận để giải hệ phương trình. Chúng ta sẽ chuyển hệ phương trình thành dạng ma trận, sau đó áp dụng các phép biến đổi ma trận như thay đổi hàng hoặc cột để giảm bớt ma trận về dạng tam giác hoặc đường chéo.
Ví dụ
Hướng dẫn:
Chuyển hệ phương trình thành dạng ma trận, sau đó áp dụng các phép biến đổi ma trận để giải hệ phương trình và tìm nghiệm x và y.
Ứng dụng của hệ phương trình
Trong toán học, hệ phương trình có các ứng dụng như sau:
- Để dịch và biểu diễn tình huống đã cho dưới dạng hệ phương trình, xác định các đại lượng chưa biết trong một bài toán và biểu diễn chúng bằng các biến.
- Viết hệ phương trình mô hình hóa các điều kiện của bài toán.
- Giải hệ phương trình.
- Kiểm tra và thể hiện lời giải thu được theo ngữ cảnh đã cho.
4. Bài tập rèn luyện
Bài 1:
Hướng dẫn giải:
Tìm giá trị của một biến từ phương trình đầu tiên, sau đó thay vào phương trình thứ hai để tìm giá trị của biến còn lại.
Đáp án:
x = 3, y = -1
Bài 2:
Hướng dẫn giải:
Nhân và cộng hoặc trừ các phương trình sao cho một biến bị loại bỏ.
Đáp án: x = 2, y = 1
Bài 3:
Hướng dẫn giải:
Vẽ đồ thị của mỗi phương trình và xác định điểm giao nhau là nghiệm của hệ phương trình.
Đáp án:
x = 1, y= 3
Bài 4:
Hướng dẫn giải:
Chuyển hệ phương trình thành dạng ma trận và áp dụng các phép biến đổi ma trận để tìm nghiệm.
Đáp án: x= 2, y = 1
Bài 5: Giải phương trình dưới đây
Hướng dẫn giải:
Áp dụng các kỹ thuật phù hợp để giải quyết phương trình phi tuyến và phương trình tuyến tính.
Đáp án: x = 1, y = 4 hoặc x = -1, y = -4
5.Tổng kết
Hệ phương trình là dạng toán có cách giải đa dạng trong toán học. Bằng cách nắm vững kiến thức về phương pháp giải và rèn luyện đa dạng các bài tập, bạn sẽ có thể tự tin vượt qua các bài kiểm tra và kỳ thi sắp tới. Đừng quên, http://happymath.edu.vn có những khóa học gia sư cho du học sinh với chất lượng dạy vô cùng tốt. Hãy liên hệ ngay nếu bạn muốn có điểm số cao vượt trội ở mỗi kỳ thi.